Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy
W rozdziale tym zajmiemy się przykładowym problemem projekcji, który posłuży nam do zbudowania intuicji leżącej u podstaw metody elementów skończonych.
Wyobraźmy sobie że dostaliśmy dwuwymiarową bitmapę taką jak na Rys. 1. Bitmapa ta reprezentuję zdjęcie satelitarne ukształtowania terenu. Bitmapa jest monochromatyczna, każdy piksel bitmapy posiada wartość całkowitą w zakresie od 0 do 255. Wartość piksela równa 0, reprezentowana na rysunku przez czarne piksele, oznacza fragmenty terenu, których średnia wysokość jest najwyższa. Są to miejsca położone na szczytach gór. Z kolei wartość piksela równa 255, reprezentowana na rysunku przez piksele w kolorze białym, oznaczają fragmenty terenu, których średnia wysokość jest najniższa. Są to miejsca położone w dolinach gór.
Przyglądnijmy się teraz jak wygląda reprezentacja komputerowa terenu opisana taką bitmapą. Nasz teren podzielony został na obszary kwadratowe reprezentowane przez poszczególne piksele. Jedyna informacja jaką mamy dla każdego takiego fragmentu terenu, to jego średnia wysokość odpowiadająca wysokości reprezentowanej przez intensywność piksela. Gdyby rzeczywistość wyglądała tak jak na naszej bitmapie, wówczas musieli byśmy skakać z jednej kwadratowej płaskiej platformy na drugą kwadratową płaską platformę, a ich wysokości zmieniały by się od 0 do 255, w pewnych jednostkach wynikających z różnicy pomiędzy minimalnym i maksymalnym ukształtowaniem terenu.
Wyobraźmy sobie teraz, że chcemy uciąglić naszą komputerowa reprezentacje terenu. Chcemy żeby wysokości zmieniały się w sposób ciągły, tak jakby nasz wszechświat odlany był ze smukłego plastiku. Oczywiście taka reprezentacja terenu będzie bardziej zbliżona do rzeczywistości, ale nadal będzie jedynie jej przybliżeniem. Chcemy dokonać "plastikowego" odlewu naszego terenu tak jak przedstawiono to na Rys. 2. Nasz model nie jest już bitmapą zawierającą płaskie piksele, jest natomiast smukłym plastikowym odlewem rzeczywistości, po którym można ześlizgiwać się z jednego miejsca na inne.